UNIDAD 2

MATRICES Y DETERMINANTES
2.1 Definición de matriz, notación y orden.
2.2 Operaciones con matrices.
2.3 Clasificación de las matrices.
2.4 Transformaciones elementales por renglón. Escalonamiento de una matriz. Núcleo y rango de una matriz.
2.5 Calculo de la inversa de una matriz.
2.6 Definición de determinante de una matriz.
2.7 Propiedades de los determinantes.
2.8 Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta.
2.9 Aplicación de matrices y determinantes.

MATRIZ

Se llama matriz al arreglo bidimensional de números. Dado que puede definirse tanto la suma como el producto de matrices, en mayor generalidad se dice que son elementos de un anillo. Una matriz se representa por medio de una letra mayúscula (A, B,..) y sus elementos con la misma letra minúscula (a,b,..) con un doble subìndice donde el primero indica la fila y el segundo la columna a la que pertenece.




NOTACION

Abreviadamente suele expresarse en la forma A=(aij).con i= 1,2,...,m; j=1,2,...,n. Los subindices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de  la fila 2 y la columna 5.



ORDEN DE UNA MATRIZ

El numero de elementos de una matriz lo obtendremos de multiplicar el numero de filas por el de columnas: m x n. 
Al producto "m x n" lo llamamos orden de matriz.



OPERACIONES CON MATRICES

Suma de matrices
Para poder sumar dos matrices, estas deben tener la misma dimensión. Entonces se suman termino a termino.

Producto de un numero por una matriz
Se multiplica el numero por cada uno de los elementos de la matriz.




Producto de matrices
Para poder multiplicar dos matrices, el numero de columnas de la primera debe coincidir con el numero de filas de la segunda.





Producto de una matriz fila por una matriz columna
El producto de una matriz fila por una matriz columna es un numero que se obtiene multiplicando elemento a elemento y sumando los resultados.


Propiedades del producto de matrices

Trasposicion de matrices 
Trasponer una matriz significa cambiar las filas por las columnas. Si una matriz es de dimensión m x n, su traspuesta es de dimensión n x m, la matriz traspuesta se representa A^T y se lee la traspuesta de A.



Potencias de matrices.
Para poder calcular la potencia de una matriz, esta tiene que ser cuadrada. Se trata de multiplicar la matriz por si misma tantas veces como diga el exponente.  


CLASIFICACIÓN DE LAS MATRICES

Matriz fila                                                                                 Matriz columna
Esta constituida por una sola fila                                      Tiene una sola columna
                                                                      

Matriz rectangular
Tiene distinto numero de filas que de columnas, siendo su dimensión m x n.


Matriz cuadrada
Tiene el mismo numero de filas que de columnas.
 
Matriz triangular superior 
Los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.


Matriz triangular inferior
Los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.


Matriz diagonal
Todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.


Matriz escalar
Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.


Matriz identidad o unidad
Es una matriz diagonal en la que sus elementos de la diagonal principal son iguales a 1.


Matrices normales
Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es, si AAT= ATA. Obviamente si A es simétrica, antisimétrica u ortogonal es necesariamente normal.


Matrices escalonada
Una matriz es escalonada si al principio de cada fila o columnas un elemento nulo mas que en la fila o columna anterior.


TRANSFORMACIONES ELEMENTALES POR RENGLÓN. ESCALONAMIENTO DE UNA MATRIZ. NÚCLEO Y RANGO DE UNA MATRIZ 

La idea que se persigue con las transformaciones elementales es convertir una matriz concreta en otra matriz más fácil de estudiar. En concreto, siempre será posible conseguir una matriz escalonada, en el sentido que definimos a continuación.

Sea A una matriz y F una fila de A. Diremos que F es nula si todos los números de F coinciden con el cero. Si F es no nula, llamamos PIVOTE de F al primer numero distinto de cero de F contando de izquierda a derecha.

Una MATRIZ ESCALONADA es aquella que verifica las siguientes propiedades:

1. Todas las filas nulas (caso de existir) se encuentran en la parte inferior de la matriz.
2. El pivote de cada fila no nula se encuentra estrictamente mas a la derecha que el pivote de la fila de encima.

Por ejemplo, entre las matrices:

A no es escalonada, mientras que B y C si lo son.

Dada una matriz escalonada E se define el RANGO de E, que representamos por rg (E), como el numero de filas no nulas de E.

En los ejemplos B y C de arriba se tiene rg (B) = rg(C) = 2, sin embargo no podemos decir que rg(A) = 3 ya que A no está escalonada. Otro ejemplo, las matrices nulas tienen rango cero y la matriz identidad de orden n cumple rg (In) = n.

La siguiente cuestión que abordaremos es la definición de rango para una matriz cualquiera que no esté escalonada. La idea será la de transformar la matriz dada en otra que sea escalonada mediante las llamadas transformaciones elementales por filas que describimos a continuación.

Dada una matriz A cualquiera, las TRANSFORMACIONES ELEMENTALES por filas de A son tres:

1. Intercambiar la posición de dos filas.
2. Multiplicar una fila por un número real distinto de cero.
3. Sustituir una fila por el resultado de sumarle a dicha fila otra fila que ha sido previamente multiplicada por un número cualquiera. 

Nota: Análogamente podríamos hacerlo todo por columnas; sin embargo, son las transformaciones por filas las que son importantes en los sistemas de ecuaciones lineales que estudiaremos después.

El siguiente resultado nos garantiza que siempre podemos transformar una matriz cualquiera en otra escalonada.

Teorema

A partir de cualquier matriz A se puede llegar, mediante una cantidad finita de transformaciones elementales, a una matriz escalonada E.

Veamos en un ejemplo cómo se hace. Obsérvese que, primero, hacemos que la componente (1,1) de la matriz de partida sea igual a uno. Luego, se hace que el resto de componentes de la primera columna sean cero. Después se pasa a la componente (2,2), y así sucesivamente.

El teorema anterior nos permite hacer una definición importante: 

Dada una matriz A cualquiera se define el RANGO de A y lo denotamos rg(A) como el rango de cualquier matriz escalonada E equivalente con A (se demuestra que este número no depende de la matriz escalonada E a la que se llegue). El rango siempre es un número menor o igual que el número de filas y el número de columnas de A. Además, el rango es cero si y sólo si A = 0. En nuestro ejemplo de antes, el rango es 3.

CALCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ

Sabemos ya multiplicar matrices y hemos visto algunas de las propiedades de esta operación. Recordemos, en primer lugar, que no siempre es posible efectuar la multiplicación de dos matrices, y en segundo lugar, que aunque sea posible hacer esta multiplicación, en general no es conmutativo, es decir A·B es distinto de B*A.

En el caso particular de que tratemos con matrices cuadradas del mismo orden A y B, es claro que podemos efectuar los productos A·B y B·A, que darán como resultado otra matriz del mismo orden, aunque, como ya se ha dicho, las matrices resultantes serán, en general, distintas.

Sabemos también que el elemento neutro del producto de matrices es la matriz identidad In. Por analogía con el caso de los números reales, podemos plantearnos la siguiente cuestión: Si tenemos un número real, por ejemplo el 2, podemos interesarnos en buscar el inverso del 2 para el producto, es decir un número real x tal que 2·x = 1, el producto de 2 por x sea igual al elemento neutro, el 1.

Evidentemente, en el caso de los números reales es bien fácil despejar x para obtener, en nuestro caso, que x =12, es decir, el inverso de un número real es otro número que multiplicado por ´el da el elemento neutro, el 1.

Todo número real, salvo el 0, tiene inverso.

Trasladando esto a las matrices, nos podemos plantear si dada una matriz cuadrada A de orden n, cualquiera, existe su inversa X para el producto de matrices, tal que A ・ X = In es decir, el producto de A por su inversa produce el elemento neutro matricial, la matriz identidad In. Sin embargo, hay algunas diferencias con respecto al caso de los números reales:

1. No podemos “despejar” la matriz X del modo X = In A, porque no hemos definido la división de matrices.
2. No todas las matrices cuadradas no nulas tienen matriz “inversa” (sea lo que sea, por analogía con los números).

Definamos, en primer lugar, el término de matriz inversa: Dada una matriz cuadrada de orden n , A, se dice que A es invertible (o que posee inversa o que es no singular o que es regular ), si existe otra matriz del mismo orden, denominada matriz inversa de A y representada por A−1 y tal que: A * A−1 = In y A−1 * A = In 

Si A no tiene inversa, se dice que es singular o no invertible.

Si una matriz tiene inversa, dicha matriz inversa es única (sólo hay una).

DEFINICIÓN DE DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

El determinante de una matriz cuadrada es un número real cuya definición exacta es bastante complicada. Por ello, definiremos primero el determinante de matrices pequeñas, y estudiaremos métodos y técnicas para calcular determinantes en general. Solamente se puede calcular el determinante a matrices cuadradas.

En cuanto a la notación, a veces el determinante se escribe con la palabra det, y otras veces se indica sustituyendo los paréntesis de la matriz por barras verticales.

El determinante de una matriz determina si los sistemas son singulares o mal condicionados. En otras palabras, sirve para determinar la existencia y la unicidad de los resultados de los sistemas de ecuaciones lineales. 

• El determinante de una matriz es un número. 

• Un determinante con valor de cero indica que se tiene un sistema singular. 

• Un determinante con valor cercano a cero indica que se tiene un sistema mal condicionado.

Un sistema singular es cuando en el sistema de ecuaciones se tiene a más de una ecuación con el mismo valor de la pendiente. Por ejemplo ecuaciones que representan líneas paralelas o ecuaciones que coinciden en los mismos puntos de graficación.

En un sistema mal condicionado es difícil identificar el punto exacto en que las líneas de las ecuaciones se interceptan.

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

1.- |At|= |A| El determinante de una matriz A y el de su traspuesta A^t son iguales.

 

2.-|A|=0 Si: posee dos lineas iguales.

Todos los elementos de una linea son nulos

Los elementos de una linea son combinación lineal de las otras.

3.- Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

4.- Si en un determinante se cambian entre si dos lineas paralelas su determinante cambia de signo.

5.- Si a los elementos de una linea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un numero real el valor  del determinante no varia.

 

6.- Si se multiplica un determinante por un numero real, queda multiplicado por dicho numero cualquier linea, pero solo una.

7.- Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.

8.-|A•B| =|A|•|B| El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.

INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA A TRAVÉS DE LA ADJUNTA

Sea A una matriz de m x n. Entonces A es invertible si y solo si detA≠0. Si detA≠0, entonces

Si detA≠0, entonces se demuestra que (1/detA)(adjA) es la inversa de A multiplicada por A y  obteniendo la matriz identidad:

 Si AB=I,entonces  B=A^-1. Así, (1/detA)adjA=A^-1

APLICACIONES DE MATRICES Y DETERMINANTES

Las matrices se utilizan en el contexto de las ciencias como elementos que sirven para clasificar valores numéricos atendiendo a dos criterios o variables.

Ejemplo: Un importador de globos los importa de dos colores, naranja (N) y rojo (R). Todos ellos se envasan en paquetes de a 2, 5 y 10 unidades, que se venden al precio (en euros) indicado por la tabla siguiente:

sabiendo que en un año se venden el siguiente numero de paquetes:

Resumirla información anterior en dos matrices A y B,  de tamaño respectivo de 2x3 y 3x2 que recojan las ventas en un año (A) y los precios (B).

Nos piden que organicemos la información anterior en dos matrices de tamaño concreto. Si nos fijamos en las tablas, es sencillo obtener las matrices:

Estas matrices se denominan matrices de información y simplemente recogen los datos numéricos del problema en cuestión.

Otras matrices son las llamadas matrices de relación, que indican si ciertos elementos están relacionados o no entre si. En general, la existencia de relación se expresa con un 1 en la matriz y la ausencia de dicha relación se expresa con un 0.

Estas matrices se utilizan cuando queremos trasladar la información dada por un grafo y expresarla numéricamente.

En matemáticas, un grafo es una colección cualquiera de puntos conectados por lineas. Existen muchos tipos de grafos. Entre ellos, podemos destacar:

Grafo simple: Es el grafo que no contiene ciclos, es decir, lineas que unan un punto consigo mismo, ni lineas paralelas, es decir, lineas que conecten el mismo par de puntos.

Grafo dirigido: Es el grafo que indica un sentido de recorrido de cada linea, mediante una flecha.

Estos tipos de grafos pueden verse en la figura:

Relacionadas con los grafos se pueden definir algunas matrices. Entre todas ellas, nosotros nos fijaremos en la llamada matriz de adyacencia, que es aquella formada por ceros y unos exclusivamente, de tal forma que:

Un 1 en el lugar (i,j) expresa la posibilidad de ir desde el punto de la fila i hasta el punto de la columna j mediante una linea que los una directamente.

Un 0 en el lugar (i,j) expresa la imposibilidad de ir del primer punto al segundo mediante una linea que los una directamente.

La matriz de adyacencia del grafo de la figura anterior sera: